ODEROM

1. O que isto é, e o que você não precisa ter

O ODEROM faz computação simbólica em geometria diferencial. Dê a ele uma variedade, uma carta de coordenadas e uma métrica, e ele calcula curvatura — símbolos de Christoffel, os tensores de Riemann, Ricci, Einstein e Weyl, as equações geodésicas e escalares invariantes como o de Kretschmann — em forma fechada, sem aproximação numérica em etapa alguma.

Você precisa de um navegador. É a lista inteira. Sem download, sem instalador, sem conta, sem direitos de administrador, sem Python, sem instalação de LaTeX. Funciona igual num laboratório da universidade, num notebook emprestado, e numa máquina onde você não tem permissão para instalar nada.

2. Um minuto: a sua primeira curvatura

Abra a página. Ela chega com um exemplo já carregado — a métrica de Reissner–Nordström, um buraco negro carregado — em quatro blocos, nenhum deles executado:

manifold M dim 4
bundle TM on M dim 4

chart schw on M coords (t, r, theta, phi)

metric g on schw bundle TM {
  [t,t] = -(1 - 2*M/r + Q^2/r^2),
  [r,r] = 1/(1 - 2*M/r + Q^2/r^2),
  [theta,theta] = r^2,
  [phi,phi] = r^2 * sin(theta)^2
}

kretschmann

Clique no primeiro bloco e aperte Shift+Enter quatro vezes, uma por bloco. O último imprime o escalar de Kretschmann:

(-96*M*Q^2*r + 48*M^2*r^2 + 56*Q^4)/r^8

Na tela ele chega diagramado, como fração de verdade e com expoentes de verdade; a linha acima é o mesmo resultado escrito em linha.

É a forma fechada do livro-texto, calculada a partir da métrica que está à vista na tela. Faça Q = 0 na métrica, rode de novo, e ela colapsa em 48M²/r⁶ — Schwarzschild.

3. O caderno

A página é uma pilha de blocos. Você edita um bloco e o executa; o resultado aparece embaixo, diagramado.

O número entre colchetes à esquerda é o contador de execução. [ ] quer dizer nunca executado; [3] quer dizer que este foi o terceiro bloco que você rodou. Ele segue a ordem em que você executou, não a ordem em que os blocos estão na página.

Quando você edita um bloco que já rodou, ele fica vencido: contador âmbar, uma faixa, e um rótulo acima do resultado antigo. O resultado continua legível — ele apenas está marcado como pertencente a um texto que não existe mais. Todo bloco executado abaixo dele vence também, porque eles podem depender do que você mudou. Nada é recalculado e nada é apagado; execute o bloco de novo quando quiser o resultado fresco.

No fim da pilha há sempre um bloco vazio, de borda tracejada. Ele está ali para ser digitado.

4. Escolhendo o idioma

O menu à esquerda do cabeçalho troca a interface entre Português, English, Italiano e Français. A sua escolha é lembrada na próxima vez que você abrir a página.

Ela muda os botões, os painéis e a barra de estado — e também o documento que o botão Manual abre: em português você chega a este guia, e em inglês ao equivalente. As mensagens de erro saem em português, sempre: elas nomeiam o que você escreveu errado, e vêm do motor, não da interface.

5. Começando pela galeria

O botão Galeria abre uma lista de espaços-tempos conhecidos. Clicar em um cola as declarações dele como blocos novos e editáveis no fim do seu caderno — o mesmo texto que você teria digitado, nunca uma métrica escondida atrás de um botão. Nada é executado; os blocos chegam como [ ], prontos para você.

Toda entrada carrega parâmetros simbólicos — M, Q, a, H. Para fixar um, edite o texto colado, ou escreva M := 1 num bloco só dele antes da métrica.

Cada uma destas foi conferida contra uma forma fechada conhecida antes de entrar na lista. Elas são um bom jeito de confirmar que o motor está fazendo o que você espera, antes de confiar nele numa métrica sua.

6. Escrevendo a sua métrica — e os seus tensores

Quatro declarações, nesta ordem. Cada uma pode morar no seu próprio bloco ou dividir um; o caderno as lê de cima para baixo.

manifold M dim 4
bundle TM on M dim 4
chart schw on M coords (t, r, theta, phi)
metric g on schw bundle TM {
  [t,t] = -(1 - 2*M/r),
  [r,r] = 1/(1 - 2*M/r),
  [theta,theta] = r^2,
  [phi,phi] = r^2 * sin(theta)^2
}

Dentro das chaves, uma linha por componente: [i,j] = expressão, separadas por vírgula, sem vírgula depois da última. Os índices são nomes de coordenada da sua carta.

O que dá para escrever numa expressão

Treze funções são conhecidas. Cinco são átomos do motor (sin, cos, exp, sinh, cosh); as outras oito são as recíprocas e os quocientes delas — tan é sin/cos, sec é 1/cos, e assim por diante para as quatro hiperbólicas. Uma consequência que vale esperar: um resultado que contenha uma tangente volta escrito como sin(x)/cos(x), e não como tan(x). É o mesmo valor, e a derivada dele é o sec² do livro — conferida contra a forma fechada.

Qualquer outra coisa é tratada de propósito, e não em silêncio:

• Um nome sem significado padrão (f, a, h) vira uma função desconhecida: opaca, mas derivada corretamente. É assim que a entrada de FRW escreve a(t).
• Um nome que é uma função padrão mas ainda não está implementado (sqrt, log, arcsin, atan) é recusado, e não aceito como desconhecido. Isto importa: antes de a regra existir, tan(theta) era aceito e derivado como um tan' opaco, nunca o sec² — um resultado que parecia plausível e estava errado. Uma recusa em alto e bom som vale mais que uma resposta errada em silêncio. (O tan está implementado agora; a regra que o pegou continua guardando o resto.)

Para uma geometria sem métrica nenhuma — uma conexão nua — dá para declarar os símbolos de Christoffel diretamente:

connection Gamma on flat2 {
  [x,y,y] = x
}

christoffel, riemann e ricci funcionam a partir disso. scalar e os outros invariantes não, e dizem o porquê: eles precisam de uma métrica para subir um índice.

Dando componentes a algo que não é a métrica

A métrica não é a única coisa que tem componentes. Um quadrimomento, um campo eletromagnético, uma velocidade — qualquer coisa que você consiga escrever como uma lista de números na sua carta:

tensor p : TM on mink { [t] = E, [x] = p1 }

Leia assim: p tem um índice, esse índice está em cima (é o que TM sem asterisco quer dizer), as componentes dele vivem na carta mink, e aqui estão elas. O que você não escreve é zero, então [y] e [z] foram omitidos acima.

Em baixo é TM*, com o asterisco. A distinção não é enfeite — o capítulo 9 mostra o que ela lhe dá.

A simetria se declara do mesmo jeito, e daí em diante ela governa o que você não escreveu:

tensor F : TM*, TM* symmetry antisymmetric on mink {
  [t,x] = -Ex, [t,y] = -Ey, [t,z] = -Ez,
  [x,y] = Bz,  [y,z] = Bx,  [z,x] = By
}

Você deu [t,x]; [x,t] vale +Ex porque a antissimetria diz que sim, e a diagonal inteira é zero pelo mesmo motivo. Ninguém digitou nenhuma das duas.

Definindo um tensor a partir de outros

Você não precisa escrever cada componente à mão. Um tensor pode ser definido por uma expressão:

tensor T^{\mu\nu} := A^\mu B^\nu

O lado esquerdo dá o nome e diz quais são os índices; o lado direito diz quanto ele vale. Nada mais é necessário — a carta e os fibrados vêm dos tensores que você usou. Depois disso T se comporta como qualquer outro tensor declarado, então eval g_{\mu\nu} T^{\mu\nu} funciona, e dá o que a expressão escrita por extenso daria.

Uma definição pode se apoiar em outra acima dela:

tensor S^{\mu\nu} := T^{\mu\nu} + T^{\nu\mu}

Curvatura com nome

A terceira forma toma uma consulta de curvatura como lado direito:

tensor G  := einstein g
tensor Rc := ricci g

Sem isto, ricci e einstein eram perguntas que imprimiam: o resultado não tinha nome, e portanto não podia ser contraído, comparado nem posto num lado de uma equação. Agora pode:

eval G[a,b] G[a,b]        ->  0    (Schwarzschild é vácuo)
simplify Rc[a,b] - Rc[b,a] ->  0

A segunda linha merece um momento. O simplify nunca vê componente nenhuma — ele trabalha em índices abstratos. Ela colapsa porque a declaração afirma a simetria no head, e a afirmação é conferida: toda célula é escrita, inclusive as que a simetria já determinaria, e uma discordância seria reportada em vez de absorvida.

Serve para ricci, einstein, riemann e weyl. christoffel não, porque não é tensor; e os cinco escalares também não, porque tensor declara tensor — para um escalar com nome há a abreviação NOME := ....

7. O que dá para perguntar

Um bloco cuja primeira palavra é uma destas é uma pergunta. Escreva-a sozinha, na própria linha, e execute.

Dois refinamentos que você vai querer em algum momento:

• Variância dos índices. riemann [up,down,down,down] sobe o primeiro índice. Um up ou down por índice, e a contagem tem de bater exatamente com o posto.
• Qual métrica. Se você declarou mais de uma, nomeie: kretschmann g2. Com uma só, você nunca precisa.

O parâmetro afim de geodesic/accel não pode colidir com uma coordenada nem com um símbolo que já esteja na sua métrica. geodesic r contra uma carta que tem r é recusado, porque t(r) significaria duas coisas ao mesmo tempo.

8. Tirando os resultados de dentro

Clique em qualquer linha de um resultado e o LaTeX dela vai para a sua área de transferência — só aquela equação, limpa, pronta para colar num documento. Não a anotação ao lado, não a linha de resumo, não o bloco inteiro. Um selo "copiado" confirma.

O botão Exportar escreve uma linha de código para outro programa. Escolha um formato e uma consulta, e ele insere algo como

export sympy kretschmann

num bloco novo. Ele não executa — você executa, com Shift+Enter, como qualquer outra coisa. O painel mostra a linha exata antes de você clicar, e é esse o ponto: na segunda vez, você a escreve sozinho. Tanto Mathematica quanto SymPy estão disponíveis, e a exportação funciona em qualquer uma das consultas do capítulo 7.

O SymPy exportado vem com a linha symbols(...) dele e com as colisões de palavra reservada renomeadas, para rodar onde você colar.

9. A outra metade: índices abstratos — e a volta aos números

Tudo até aqui calcula componentes: você dá uma métrica, você recebe expressões em r e θ. O ODEROM tem uma segunda metade, e ela está disponível aqui também.

O simplify trabalha sobre expressões tensoriais em que os índices são apenas rótulos — sem métrica, sem coordenadas, sem componentes. Declare as simetrias de um tensor com head, e depois pergunte se uma expressão colapsa:

manifold M dim 4
bundle TM on M dim 4
head R : TM*, TM*, TM*, TM* symmetry (1 2)- (3 4)- (1 3)(2 4)+

e então, noutro bloco:

simplify R[a,b,c,d] + R[b,a,c,d]

0

É a antissimetria no primeiro par fazendo o seu trabalho. Mais alguns:

Notação: tensores se escrevem lado a lado, não multiplicados com * — g[a,b] R[b,c,d,e]. Um índice repetido é uma contração. Um ponto e vírgula introduz uma derivada covariante: T[a,b;c].

Declarando as identidades

Identidades de vários termos — as identidades de Bianchi, a compatibilidade métrica — são declaradas, nunca supostas. A primeira identidade de Bianchi vale para o tensor de Riemann de uma conexão de Levi-Civita e não para um tensor qualquer com as mesmas simetrias de slot, e o programa não tem como saber qual dos dois você quer dizer. Então você diz:

axiom bianchi R

num bloco só dele, e aí a soma cíclica colapsa:

simplify R[a,b,c,d] + R[a,c,d,b] + R[a,d,b,c]

0

Existem quatro espécies: bianchi (a identidade algébrica), bianchi2 (a diferencial), metric (contrair este head sobe ou desce um índice) e compatible (a conexão é compatível com a métrica, ∇g = 0). Um axioma é uma declaração como qualquer outra — o escopo dele é o caderno inteiro, e ele é salvo no arquivo junto com o resto.

De volta aos números: eval

O simplify e o eval tomam a mesma expressão e fazem perguntas diferentes:

simplify p[a] p[a]   ->  p[a] p[a]       a forma canônica, sem números
eval     p[a] p[a]   ->  -E^2 + p1^2     porque as componentes existem

Aqui está a coisa inteira, cinco linhas e uma pergunta. Ponha as declarações num bloco:

manifold M dim 4
bundle TM on M dim 4
chart mink on M coords (t, x, y, z)
metric g on mink bundle TM { [t,t] = -1, [x,x] = 1, [y,y] = 1, [z,z] = 1 }
tensor p : TM on mink { [t] = E, [x] = p1 }

e a pergunta noutro:

eval p[a] p[a]

-E² + p1²

É a massa invariante, com o sinal onde ele deve estar.

Se a carta não tem métrica declarada, o ODEROM recusa em vez de escolher uma. Contrair dois índices da mesma variância é uma afirmação sobre a geometria, e sem métrica ela não tem valor. Ele também recusa, nomeando o que falta, quando um tensor da sua expressão não tem componentes — devolver os símbolos seria responder a outra pergunta, e essa é a do simplify.

O resultado guarda os índices que não foram contraídos. Sobrando um índice livre, você recebe uma lista:

eval T[a,b] V[b]

[^t] = a*v0 + b*v1
[^x] = c*v0 + d*v1

Escrevendo do jeito do livro

Dá para pôr a variância no próprio índice, como num livro-texto:

eval g_{\mu \nu} V^\mu V^\nu

Mesma resposta que eval V[a] V[a] — três jeitos de escrever uma conta:

Um índice sozinho não precisa de chaves (V^\mu), e rótulos gregos e latinos são intercambiáveis — \mu é só um nome.

Escrever um índice do outro lado o move com a métrica, que é o que você quereria dizer no papel:

eval u_\mu     u declarado com índice em cima -> descido
eval A^\mu     A declarado com índice em baixo -> subido

Então u_\mu A^\mu e g_{\mu\nu} u^\nu A^\mu são a mesma conta, escrita de dois jeitos. Sem métrica declarada não há com o que mover um índice, e o ODEROM diz isso em vez de escolher uma.

Parênteses num grupo de índices o simetrizam; colchetes antissimetrizam:

eval P_{(\mu\nu)}     a parte simétrica
eval P_{[\mu\nu]}     a parte antissimétrica

Os dois carregam o fator 1/k! de sempre, então antissimetrizar um tensor simétrico dá zero, e simetrizar um antissimétrico também — um jeito rápido de conferir que um tensor é o que você pensa que ele é.

A métrica com índices em cima é a inversa dela, que é como se escreve a norma de um covetor:

eval g^{\mu\nu} A_\mu A_\nu

É o mesmo que A_\mu A_\mu, a abreviação — mas diz o que faz. g^{ab} não é g com os índices movidos (isso devolveria g); é a inversa, por definição. Só a métrica ganha isso: qualquer outro tensor escrito na variância oposta continua sendo erro.

Uma armadilha que vale conhecer: g_{ab} lê como um índice só, chamado ab. Rótulos latinos dentro de chaves precisam de separador — g_{a b} — enquanto g_{\mu\nu} está bem, porque uma macro se autodelimita.

É mesmo uma equação tensorial? invariant

Todo livro-texto diz que uma equação tensorial não depende das coordenadas que você escolheu. Nenhum sistema de álgebra computacional deixa você perguntar — Cadabra, xAct e SymPy deixam isso como coisa que você confere rodando a conta duas vezes e comparando com o olho. Aqui é uma linha.

Ela precisa de duas coisas. Primeiro, o mesmo objeto escrito em duas cartas — um tensor ou uma metric podem ser declarados mais de uma vez sob um nome, desde que cada declaração nomeie uma carta diferente:

tensor p : TM on cart  { [x] = x, [y] = y }
tensor p : TM on shear { [u] = u, [v] = v }

Segundo, a mudança de coordenadas entre elas:

transition cart to shear {
  u = 2*x,
  v = x + y
}

Cada linha dá uma coordenada do destino como função das da origem. Uma direção por declaração — derivar a inversa exigiria resolver um sistema simbólico. E então:

invariant g_{\mu\nu} p^\mu p^\nu

cart: x^2 + y^2
shear: -u*v + 1/2*u^2 + v^2
cart -> shear: concordam
invariante

As duas expressões não se parecem em nada, e é esse o ponto: elas são o mesmo número em dois sistemas de coordenadas, e o ODEROM conferiu em vez de acreditar na sua palavra.

Índices livres funcionam também. Cada um é levado pelo seu próprio fator — a Jacobiana para um índice em baixo, a inversa da Jacobiana para um em cima, que é o que as duas palavras significam:

invariant p^\mu        invariant p_\mu

cart:                  cart:
[^x] = x               [x] = x
[^y] = y               [y] = y
shear:                 shear:
[^u] = u               [u] = 1/2*u - 1/2*v
[^v] = v               [v] = -1/2*u + v

Os dois invariantes, e as componentes genuinamente diferentes entre si.

A pergunta invertida: equation e solve

Todas as perguntas até aqui têm a forma "dado isto, calcule aquilo". Esta é a primeira que diz "isto vale aquilo, e agora me diga o que falta". A física pede a pergunta invertida o tempo todo, e a mais comum de todas é: dada uma geometria, que matéria a produz?

Uma equação recebe nome:

equation eq1 : x + y = 2
solve eq1 for y

y = 2 - x

E o caso que interessa. Declare a geometria, dê nome ao tensor de Einstein, declare a incógnita, e escreva as equações de campo:

tensor G := einstein g
head T : TM*, TM* symmetry (1 2)+
equation efe : G_{\mu\nu} = 8 T_{\mu\nu}
solve efe for T_{\mu\nu}

Sobre Schwarzschild:

T:
16 independent components identically zero

Schwarzschild é vácuo, e o programa acabou de dizer isso resolvendo, em vez de ter sido informado. Sobre Reissner–Nordström as mesmas quatro linhas devolvem o tensor de energia-momento eletromagnético:

T:
[t,t] = (-1/4*Mass*Q^2*r + 1/8*Q^2*r^2 + 1/8*Q^4)/r^6
[r,r] = 1/8*Q^2/(2*Mass*r^3 - Q^2*r^2 - r^4)
[theta,theta] = 1/8*Q^2/r^2
[phi,phi] = 1/8*Q^2*sin(theta)^2/r^2
12 independent components identically zero

Quando a incógnita tem menos graus de liberdade que a equação, o que sobra vira conferência. Pergunte se a variedade é um espaço de Einstein — se o Ricci é proporcional à métrica:

tensor Rc := ricci g
head L : on M
equation esp : Rc_{\mu\nu} = L g_{\mu\nu}
solve esp for L

Dezesseis equações, uma incógnita. Ou toda célula concorda — e o programa acabou de provar que a variedade é um espaço de Einstein, com o Λ calculado — ou não concordam, e o ansatz não fecha. As duas respostas são úteis, e a segunda é a que nenhuma outra ferramenta dá de graça. Os dois valores em conflito ali são exatamente a estrutura de sinais do Ricci eletromagnético.

Sem componentes, o que sobra é mover termos — o que se faz no papel:

equation e : T[a,b] + U[a,b] = S[a,b]
solve e for T[a,b]

T[a,b] = -1 U[a,b] + S[a,b]

Qual dos dois caminhos roda é decidido pelo documento: se algum head da equação tem componentes, a resposta são números; se nenhum tem, a resposta são símbolos rearranjados. É a mesma expressão com quantidades diferentes de informação — a relação que simplify e eval já têm.

O manual completo lista as onze recusas do solve, cada uma com o seu motivo. A que mais aparece: escrever o alvo na variância oposta à declarada deixa a incógnita atrás de fatores de métrica, e a mensagem diz em que variância ele foi declarado — que é o conserto.

10. Salvar e reabrir

Salvar baixa um arquivo. Digite um nome no campo de caminho antes — é esse nome que o download recebe, com .od acrescentado se você não puser. Uma página de navegador não pode escrever numa pasta que você escolha, então baixar é o que "salvar" significa aqui.

Abrir usa o seletor de arquivos do seu sistema. O campo de caminho é ignorado ao abrir, de propósito: uma página não pode ler um arquivo por caminho, só um que você entregou a ela, e fingir o contrário seria pior que a assimetria. Cancelar o seletor não muda nada e não é erro.

O arquivo é texto puro, com %% numa linha só dele entre os blocos. É o mesmo formato que o aplicativo de mesa lê e escreve, então um caderno passa de um para o outro intocado. Reabrir sempre volta com todos os blocos não executados — coerente com nada recalcular sozinho.

11. Quando uma conta demora demais

Enquanto um bloco roda, a página continua funcionando: os outros blocos aceitam foco e edição, e o bloco em execução oferece Cancelar. Só um bloco roda por vez; apertar uma tecla de execução noutro é recusado, com um lampejo na barra de estado e no bloco que está segurando o motor.

Não há limite de tempo no navegador. Uma conta roda até terminar ou até você pará-la. O que a limita é um teto de tamanho de expressão (50 000 nós), que interrompe uma conta descontrolada antes que ela esgote a sua memória, e reporta em vez de travar para sempre.

12. O que muda em relação à versão de mesa

A linguagem, o motor e os resultados são idênticos — o mesmo Rust, compilado de dois jeitos. Quatro diferenças, todas impostas pelo navegador:

Todo o resto — as teclas, os estados de bloco, o vencimento, a galeria, a Exportação, o clique para copiar, o seletor de idiomas — se comporta igual nos dois.

13. Para ir adiante

O manual completo (em inglês) cobre o que este guia deixa de fora: a gramática inteira, as ferramentas de linha de comando, a referência de mensagens de erro, os axiomas declarados para o trabalho em índices abstratos, a lista completa de palavras reservadas, e dez exemplos trabalhados. Leia este aqui para começar; leia aquele quando quiser saber exatamente o que o programa faz e o que ele não faz.

Todos os documentos — este guia, o manual e a nota técnica — estão listados aqui, para ler no navegador ou baixar em PDF. É também para onde o botão Manual do cabeçalho leva.

Dois hábitos que vale formar cedo, e em torno dos quais este programa foi construído:

• Confira contra algo que você já sabe. Rode uma métrica da galeria cujo invariante você consiga verificar antes de confiar numa métrica sua. É por isso que a galeria lista a resposta esperada ao lado de cada entrada.
• Prefira um erro em alto e bom som a uma resposta silenciosa. Quando o ODEROM recusa — um nome de função reservado, um parâmetro que colide, Weyl em duas dimensões — ele está recusando porque a alternativa era um resultado que parecia certo e não era.

Como citar

Se o ODEROM for útil num trabalho seu, cite o registro arquivado e não o endereço do site, para que a versão que você usou continue identificável:

de Lima, R. C. R. (2026). ODEROM: a symbolic engine for
differential geometry [Computer software].
Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.22262763

Esse identificador aponta sempre para a versão mais recente. Quando a versão importa, cite a dela — a 0.1.0 é 10.5281/zenodo.22262764.

Um CITATION.cff legível por máquina acompanha o código-fonte, e a descrição técnica do programa — o que ele computa, como representa expressões, e como os resultados são verificados — é publicada ao lado deste manual como ODEROM-paper.pdf.

O ODEROM é distribuído sob a Licença Apache 2.0 ou a licença MIT, à sua escolha.

ODEROM · guia do navegador. Tradução do guia em inglês, que teve todo comportamento aqui descrito verificado contra o programa em execução em 20 de agosto de 2026 — inclusive o custo de cancelar, medido num navegador de verdade em vez de suposto. As seções do invariant e do solve vieram depois, com as saídas coladas do terminal em 2 e 3 de setembro de 2026.